[Python] DCT 8x8

목차

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DCT에 대하여

간략하게 정리한 글입니다. DCT에 대한 내용은 해당 글 참고바랍니다.

 

2023.07.23 - [Knowledge/Basic] - 2차원 DCT(Discrete cosine transform), 이산 코사인 변환

2차원 DCT(Discrete cosine transform), 이산 코사인 변환

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DCT 8x8 변환식

$$ f_{x,y}=\frac{1}{4}\alpha \left (u \right )\alpha \left ( v \right )\sum_{u=0}^{7}\sum_{v=0}^{7}F_{u,v}cos\left [ \frac{(2x+1)u\pi }{16}\right ]cos\left [\frac{(2y+1)v\pi }{16}\right ] $$

수학적으로 계산해보자. x=0, y=0일때를 가정하면 다음과 같다.

 

위 식에 x=0, y=0을 대입하여 식 정리:

 

$$ f_{0,0}=\frac{1}{4}\sum_{u=0}^{7}\sum_{v=0}^{7}\alpha(u)\alpha(v)F_{u,v}\cos\left(\frac{u\pi}{16}\right)\cos\left(\frac{v\pi}{16}\right) $$

각 \( u \)와 \( v \)에 대해, 각 항들:

 

• When \( u=0 \), \( v=0 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{0,0} \cdot \cos\left(\frac{0\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{0\pi}{16}\right) $$
• When \( u=0 \), \( v=1 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot F_{0,1} \cdot \cos\left(\frac{0\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{1\pi}{16}\right) $$
• When \( u=1 \), \( v=0 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{1,0} \cdot \cos\left(\frac{1\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{0\pi}{16}\right) $$
• When \( u=1 \), \( v=1 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot F_{1,1} \cdot \cos\left(\frac{1\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{1\pi}{16}\right) $$

...

 

• When \( u=7 \), \( v=6 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot F_{7,6} \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{6\pi}{16}\right) $$
• When \( u=7 \), \( v=7 \):
$$ \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot F_{7,7} \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{16}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{16}\right) $$

최종합계는 위 항들을 모두 더하면 된다.

8x8 행렬이기에 이과정을 64번 반복하면 행렬이 완성된다.

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Python DCT, IDCT

일단 Python으로 DCT를 계산하는 방법은 인터넷에 많이 있습니다.

해당 코드는 numpy와 scipy가 필요합니다. 터미널에서 해당 패키지를 설치해줍니다.

 

python -m pip install scipy  

 

python -m pip install numpy  

Code

import numpy as np
from scipy.fftpack import dct, idct

# 8x8 입력 데이터
x = np.array([
    [16, 11, 10, 16, 24, 40, 51, 61],
    [12, 12, 14, 19, 26, 58, 60, 55],
    [14, 13, 16, 24, 40, 57, 69, 56],
    [14, 17, 22, 29, 51, 87, 80, 62],
    [18, 22, 37, 56, 68, 109, 103, 77],
    [24, 35, 55, 64, 81, 104, 113, 92],
    [49, 64, 78, 87, 103, 121, 120, 101],
    [72, 92, 95, 98, 112, 100, 103, 99]
])

# DCT-II 변환
y = dct(dct(x.T, type=2, norm='ortho').T, type=2, norm='ortho')

# IDCT 변환 (DCT의 역변환)
x_reconstructed = idct(idct(y.T, type=2, norm='ortho').T, type=2, norm='ortho')

print("DCT:\n", y)
print("Reconstructed from IDCT:\n", x_reconstructed)

Result

DCT:
 [[ 4.61000000e+02 -1.68360713e+02 -1.49830296e+01  3.00003677e+01
  -3.10000000e+01  8.86180477e+00  1.06481113e+00 -2.59644590e+00]
 [-1.94429190e+02 -1.81503392e+00  3.82910959e+01  4.75835106e+00
   6.56842027e+00  3.91244792e+00  5.81915341e+00 -5.84319007e+00]
 [ 3.24246554e+01  4.35581181e+01  1.05585047e+01 -2.22948525e+01
   1.54642002e+01 -1.08418427e+01 -5.53033009e+00  4.49921782e+00]
 [-2.61581186e+00 -2.78610569e+01 -1.01537314e+00 -4.12800097e-01
  -2.85250260e+00  7.37082368e+00  4.33235360e+00 -3.03983774e+00]
 [ 2.00000000e+00  1.13192702e+01  7.09324174e-01  1.47173664e+00
   4.50000000e+00 -4.72939344e+00  1.05917856e+00 -2.59151517e+00]
 [-6.98382951e-01 -3.53858939e+00  2.40510445e+00  2.51727029e+00
   6.23940851e-01 -2.58719990e+00  9.24032709e-02  2.61686521e+00]
 [-9.91295736e+00  6.33264357e+00  4.46966991e+00 -8.72645131e+00
   7.93621519e+00 -1.19223780e+00 -6.05850468e+00  7.56086146e+00]
 [ 8.35673614e+00 -1.69674346e+00 -3.29987112e+00  1.10963002e+00
   2.73034464e+00  3.83677819e+00 -1.85659463e+00 -1.18496608e+00]]

Reconstructed from IDCT:
 [[ 16.  11.  10.  16.  24.  40.  51.  61.]
 [ 12.  12.  14.  19.  26.  58.  60.  55.]
 [ 14.  13.  16.  24.  40.  57.  69.  56.]
 [ 14.  17.  22.  29.  51.  87.  80.  62.]
 [ 18.  22.  37.  56.  68. 109. 103.  77.]
 [ 24.  35.  55.  64.  81. 104. 113.  92.]
 [ 49.  64.  78.  87. 103. 121. 120. 101.]
 [ 72.  92.  95.  98. 112. 100. 103.  99.]]